2021年成人高考高起點(diǎn)數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)資料9

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充要條件的判定

充分條件、必要條件和充要條件是重要的數(shù)學(xué)概念，主要用來(lái)區(qū)分命題的條件p和結(jié)論q之間的關(guān)系.本節(jié)主要是通過(guò)不同的知識(shí)點(diǎn)來(lái)剖析充分必要條件的意義，讓考生能準(zhǔn)確判定給定的兩個(gè)命題的充要關(guān)系.

●難點(diǎn)磁場(chǎng)

(★★★★★)已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x2+ax+b=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α、β，證明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要條件.

●案例探究

[例1]已知p：|1- |≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若?p是?q的必要而不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

命題意圖：本題以含絕對(duì)值的不等式及一元二次不等式的解法為考查對(duì)象，同時(shí)考查了充分必要條件及四種命題中等價(jià)命題的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)了知識(shí)點(diǎn)的靈活性.

知識(shí)依托：本題解題的閃光點(diǎn)是利用等價(jià)命題對(duì)題目的文字表述方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使考生對(duì)充要條件的難理解變得簡(jiǎn)單明了.

錯(cuò)解分析：對(duì)四種命題以及充要條件的定義實(shí)質(zhì)理解不清晰是解此題的難點(diǎn)，對(duì)否命題，學(xué)生本身存在著語(yǔ)言理解上的困難.

技巧與方法：利用等價(jià)命題先進(jìn)行命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，搞清晰命題中條件與結(jié)論的關(guān)系，再去解不等式，找解集間的包含關(guān)系，進(jìn)而使問(wèn)題解決.

解：由題意知：

命題：若?p是?q的必要而不充分條件的等價(jià)命題即逆否命題為：p是q的充分不必要條件.

p:|1- |≤2 -2≤ -1≤2 -1≤ ≤3 -2≤x≤10

q:x2-2x+1-m2≤0 [x-(1-m)][x-(1+m)]≤0 *

∵p是q的充分不必要條件，

∴不等式|1- |≤2的解集是x2-2x+1-m2≤0(m>0)解集的子集.

又∵m>0

∴不等式*的解集為1-m≤x≤1+m

∴ ，∴m≥9，

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[9，+∞ .

[例2]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)Sn=pn+q(p≠0,p≠1),求數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件.

命題意圖：本題重點(diǎn)考查充要條件的概念及考生解答充要條件命題時(shí)的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

知識(shí)依托：以等比數(shù)列的判定為主線，使本題的閃光點(diǎn)在于抓住數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，嚴(yán)格利用定義去判定.

錯(cuò)解分析：因?yàn)轭}目是求的充要條件，即有充分性和必要性兩層含義，考生很容易忽視充分性的證明.

技巧與方法：由an= 關(guān)系式去尋找an與an+1的比值，但同時(shí)要注意充分性的證明.

解：a1=S1=p+q.

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1)

∵p≠0,p≠1,∴ =p

若{an}為等比數(shù)列，則 =p

∴ =p,

∵p≠0，∴p-1=p+q，∴q=-1

這是{an}為等比數(shù)列的必要條件.

下面證明q=-1是{an}為等比數(shù)列的充分條件.

當(dāng)q=-1時(shí)，∴Sn=pn-1(p≠0,p≠1)，a1=S1=p-1

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=pn-pn-1=pn-1(p-1)

∴an=(p-1)pn-1 (p≠0,p≠1)

=p為常數(shù)

∴q=-1時(shí)，數(shù)列{an}為等比數(shù)列.即數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件為q=-1.

●錦囊妙計(jì)

本難點(diǎn)所涉及的問(wèn)題及解決方法主要有：

(1)要理解“充分條件”“必要條件”的概念：當(dāng)“若p則q”形式的命題為真時(shí)，就記作p q，稱p是q的充分條件，同時(shí)稱q是p的必要條件，因此判斷充分條件或必要條件就歸結(jié)為判斷命題的真假.

(2)要理解“充要條件”的概念，對(duì)于符號(hào)“ ”要熟悉它的各種同義詞語(yǔ)：“等價(jià)于”，“當(dāng)且僅當(dāng)”，“必須并且只需”，“……，反之也真”等.

(3)數(shù)學(xué)概念的定義具有相稱性，即數(shù)學(xué)概念的定義都可以看成是充要條件，既是概念的判斷依據(jù)，又是概念所具有的性質(zhì).

(4)從集合觀點(diǎn)看，若A B，則A是B的充分條件，B是A的必要條件;若A=B，則A、B互為充要條件.

(5)證明命題條件的充要性時(shí)，既要證明原命題成立(即條件的充分性)，又要證明它的逆命題成立(即條件的必要性).

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